La función lineal es la más simple dentro de las formas que puede adoptar una relación entre variables económicas, pero desempeñan un importante papel en la formulación de los problemas económicos. Una función lineal tiene la forma general
Donde a y b son números reales, el coeficiente a es la pendiente de la recta que representa a la función y siempre es distinta de cero, el término independiente b es la ordenada al origen, que gráficamente representa la intersección de la recta con el eje de las ordenadas en el punto de coordenadas (0,b).
La variable independiente es x, a la cual le asignamos valores para obtener y.
Estas funciones se caracterizan porque un cambio unitario en la variable independiente (x), provoca un cambio proporcional en la variable dependiente (y). La tasa de cambio está representada por la constante a. Ejemplo:
Analicemos la relación funcional que existe entre la venta domiciliaria de teléfonos celulares, y el sueldo del vendedor: (funcion ingreso)
donde "y" es el sueldo del vendedor, y "x" es la cantidad de teléfonos vendidos.
Estamos frente a una función lineal, cuya representación gráfica es:
Podemos observar:
1. Es función creciente
2. Al aumentar el número de teléfonos vendidos, aumenta el sueldo del vendedor.
3. D (f) = R0+
I (f) =
En otras ramas de las ciencias también se utilizan las funciones lineales,
Por ejemplo:
Distancia recorrida por un móvil sobre un camino recto a velocidad constante, en función del tiempo (Movimiento rectilíneo uniforme)
Ley de enfriamiento de Newton. La velocidad de enfriamiento de un cuerpo está en función de la temperatura del cuerpo, por encima de la temperatura ambiente.
Longitud de la circunferencia en función del radio.
Unidad de riego en función de la superficie.
La función lineal es del tipo: y = mx
Su gráfica es una línea recta que pasa por el origen de coordenadas.
y = 2x
x
0
1
2
3
4
y = 2x
0
2
4
6
8
gráfica
Pendiente
La pendiente es la inclinación de la recta con respecto al eje de abscisas. Si m > 0 la función es creciente y ángulo que forma la recta con la parte positiva del eje OX es agudo.
gráfica
Si m < 0 la función es decreciente y ángulo que forma la recta con la parte positiva del eje OX es obtuso.
gráfica
Función lineal
Introducción: Recordemos que una función es una correspondencia entre los elementos de un conjunto de partida, llamado Dominio, y los elementos de un conjunto de llegada, llamado Codominio, de forma tal que a cada elemento del dominio le corresponde uno, y solo uno, en el codominio.
Definición: Una función lineal es una función cuyo dominio son todos los números reales, cuyo codominio son también todos los números reales, y cuya expresión analítica es un polinomio de primer grado.
Definición f: R —> R / f(x) = a.x+b donde a y b son números reales, es una función lineal
Este último renglón se lee: f de R en R tal que f de equis es igual a a.x+b
Por ejemplo, son funciones lineales f: f(x) = 2x+5 , g: g(x) = -3x+7, h: h(x) = 4 Definición: Las funciones lineales son polinomios de primer grado. Recordemos que los polinomios de primer grado tienen la variable elevada al exponente 1. Es habitual no escribir el exponente cuando este es 1.
Ejemplos de funciones lineales: a(x) = 2x+7 b(x) = -4x+3 f(x) = 2x + 5 + 7x - 3 De estas funciones, vemos que la f no está reducida y ordenada como las demás. Podemos reducir términos semejantes para que la expresión quede de una forma mas sencilla, f(x) = 9x + 2 Tambien recordemos que hemos convenido que cuando no establecemos en forma explicita el dominio y el codominio de una función, supondremos que es el mayor conjunto posible en cada caso.
Por ejemplo, si hablamos de la función f, de dominio real y codominio real, tal que f(x)= 2x-6, anotaremos f: R ——-> R / f(x) = 2x-6 Siendo el dominio todos los números reales, R, y el codominio también, todos los números reales, R.
Esto se lee " f de R en R tal que f de x es igual a 2x-6"
Vamos a graficar esta función, que tal cual lo vimos en la definición, es una función lineal por ser de primer grado. Para graficarla haremos una tabla de valores. f: R ——> R / f(x) = 2x-6 Le vamos dando valores a "x". ¿Que valores le podemos dar? Cualquiera que este dentro del dominio.
Por ejemplo, si x = 5 , entonces f(x) pasa a ser f(5), que es f(5) = 2.(5)-6 f(5) = 4
Entonces al 5 le corresponde el 4. Nuestro punto es el (5,4).
¿Cómo se coloca en un par de ejes coordenados? ¿Que tal si repasamos esto?
Y ahora que ya sabemos colocar los puntos, podemos hacer la gráfica de una función lineal. Con el botón "paso a paso" iremos construyendo juntos la gráfica de una recta. Cuando termines, con el botón "de nuevo" podrás hacer otra gráfica.
f: R —> R / f(x) = a.x+b Una función lineal cumple además, que el incremento de los valores de los elementos del dominio es proporcional al incremento de los valores en el codominio, siempre que ano sea cero.
Este número a se llama pendiente o coeficiente angular de la recta.
Volvamos a esto ejemplos de funciones lineales f: f(x) = 2x+5 , g: g(x) = -3x+7, h: h(x) = 4 f: f(x) = 2x+5 si x es 3, entonces f(3) = 2.3+5 = 11
si x es 4, entonces f(4) = 2.4+5 = 13
si x es 5, entonces f(5) = 2.5+5 = 15
Cada vez que la x se incrementa en 1 unidad, el resultado, esto es, f(x), se incrementa en 2 unidades.
Preste atención en que los valores de x y de f(x) NO SON PROPORCIONALES.
Lo que son proporcionales son los incrementos. g: g(x) = -3x+7 si x= 0, entonces g(0) = -3.(0) +7 = 0+7 = 7
si x= 1, entonces g(1) = -3.(1) +7 = -3+7 = 4
si x= 2, entonces g(2) = -3.(2) +7 = -6+7 = 1
Cada vez que la x se incrementa en 1 unidad, el resultado, esto es, g(x), disminuye en 3 unidades. h: h(x) = 4 si x= 0 , entonces h(0) = 4
si x= 98 , entonces h(98) = 4
Cada vez que la x se incrementa en 1 unidad, el resultado, esto es, h(x), NO aumenta. Es la función constante. Su gráfica es una recta paralela al eje OX.
funcion constante
¿Que diferencia fundamental y muy importante hay entre las funciones h y j?
Parecería, a primera vista, que son muy parecidas. Las "fórmulas" de ambas son iguales. h(x)=3 y j(x)=3
Sin embargo, son muy distintas porque mientras la función h tiene como dominio todos los números reales, la función j tiene como dominio los números naturales. Y como entre dos números naturales consecutivos no hay ningún otro número natural, no existe gráfica ni puntos entre ellos.
Esto es, entre el 17 y el 18 no hay ningún número natural. Entre el 17 y el 18 hay infinitos número reales. He ahí la diferencia.
La representación gráfica de h es una linea recta, pero la de j son puntos aislados, aunque son infinitos.
Esto, por supuesto, ocurre no solo si son funciones constantes. Es para cualquier función. El dominio es muy importante. Cuando no se especifíca el dominio y codominio, se supone que son los mayores posibles. En el caso de las funciones lineales, es de R en R.
Veamos otro ejemplo:
funcion
Esta función,llamadaq, ¿ será lineal ? Supongamos, además, que es una función de R en R.
Para determinar esto tenemos que ver si las diferencias entre los valores en el dominio y codominio son proporcionales. Esto es, si cambian en la misma razón.
Dominio x
Codominio y
4
1
7
2
13
4
16
9
Dominio: de 4 a 7 aumenta en 3 Codominio: de 1 a 2 aumenta en 1
Dominio: de 7 a 13 aumenta en 6 Codominio: de 2 a 4 aumenta en 2. Por ahora, parece que si
Dominio: de 13 a 16 aumenta en 3 Codominio: de 4 a 9 aumenta en 5 Se rompió la relación
Cada 3 unidades de aumento en x, aumentaría en 1 en el codominio, pero el "9" no esta de acuerdo con esto. ¿Que número tendría que estar, en lugar del "9", para que sea una función lineal ? Primero lo piensas y luego toca el botón "lineal".
Una función lineal tiene la forma general
Donde a y b son números reales, el coeficiente a es la pendiente de la recta que representa a la función y siempre es distinta de cero, el término independiente b es la ordenada al origen, que gráficamente representa la intersección de la recta con el eje de las ordenadas en el punto de coordenadas (0,b).
La variable independiente es x, a la cual le asignamos valores para obtener y.
Estas funciones se caracterizan porque un cambio unitario en la variable independiente (x), provoca un cambio proporcional en la variable dependiente (y). La tasa de cambio está representada por la constante a.
Ejemplo:
Analicemos la relación funcional que existe entre la venta domiciliaria de teléfonos celulares, y el sueldo del vendedor: (funcion ingreso)
donde "y" es el sueldo del vendedor, y "x" es la cantidad de teléfonos vendidos.
Estamos frente a una función lineal, cuya representación gráfica es:
Podemos observar:
1. Es función creciente
2. Al aumentar el número de teléfonos vendidos, aumenta el sueldo del vendedor.
3. D (f) = R0+
I (f) =
En otras ramas de las ciencias también se utilizan las funciones lineales,
Por ejemplo:
Distancia recorrida por un móvil sobre un camino recto a velocidad constante, en función del tiempo (Movimiento rectilíneo uniforme)
Ley de enfriamiento de Newton. La velocidad de enfriamiento de un cuerpo está en función de la temperatura del cuerpo, por encima de la temperatura ambiente.
Longitud de la circunferencia en función del radio.
Unidad de riego en función de la superficie.
La función lineal es del tipo:
y = mx
Su gráfica es una línea recta que pasa por el origen de coordenadas.
y = 2x
Pendiente
La pendiente es la inclinación de la recta con respecto al eje de abscisas.Si m > 0 la función es creciente y ángulo que forma la recta con la parte positiva del eje OX es agudo.
Si m < 0 la función es decreciente y ángulo que forma la recta con la parte positiva del eje OX es obtuso.
Función lineal
Introducción: Recordemos que una función es una correspondencia entre los elementos de un conjunto de partida, llamado Dominio, y los elementos de un conjunto de llegada, llamado Codominio, de forma tal que a cada elemento del dominio le corresponde uno, y solo uno, en el codominio.
Definición: Una función lineal es una función cuyo dominio son todos los números reales, cuyo codominio son también todos los números reales, y cuya expresión analítica es un polinomio de primer grado.
Definición f: R —> R / f(x) = a.x+b donde a y b son números reales, es una función lineal
Este último renglón se lee: f de R en R tal que f de equis es igual a a.x+b
Por ejemplo, son funciones lineales f: f(x) = 2x+5 , g: g(x) = -3x+7, h: h(x) = 4
Definición: Las funciones lineales son polinomios de primer grado.
Recordemos que los polinomios de primer grado tienen la variable elevada al exponente 1. Es habitual no escribir el exponente cuando este es 1.
Ejemplos de funciones lineales: a(x) = 2x+7 b(x) = -4x+3 f(x) = 2x + 5 + 7x - 3
De estas funciones, vemos que la f no está reducida y ordenada como las demás. Podemos reducir términos semejantes para que la expresión quede de una forma mas sencilla, f(x) = 9x + 2
Tambien recordemos que hemos convenido que cuando no establecemos en forma explicita el dominio y el codominio de una función, supondremos que es el mayor conjunto posible en cada caso.
Por ejemplo, si hablamos de la función f, de dominio real y codominio real, tal que f(x)= 2x-6, anotaremos f: R ——-> R / f(x) = 2x-6 Siendo el dominio todos los números reales, R, y el codominio también, todos los números reales, R.
Esto se lee " f de R en R tal que f de x es igual a 2x-6"
Vamos a graficar esta función, que tal cual lo vimos en la definición, es una función lineal por ser de primer grado. Para graficarla haremos una tabla de valores.
f: R ——> R / f(x) = 2x-6
Le vamos dando valores a "x". ¿Que valores le podemos dar? Cualquiera que este dentro del dominio.
Por ejemplo, si x = 5 , entonces f(x) pasa a ser f(5), que es f(5) = 2.(5)-6 f(5) = 4
Entonces al 5 le corresponde el 4. Nuestro punto es el (5,4).
¿Cómo se coloca en un par de ejes coordenados? ¿Que tal si repasamos esto?
Y ahora que ya sabemos colocar los puntos, podemos hacer la gráfica de una función lineal. Con el botón "paso a paso" iremos construyendo juntos la gráfica de una recta. Cuando termines, con el botón "de nuevo" podrás hacer otra gráfica.
f: R —> R / f(x) = a.x+b
Una función lineal cumple además, que el incremento de los valores de los elementos del dominio es proporcional al incremento de los valores en el codominio, siempre que a no sea cero.
Este número a se llama pendiente o coeficiente angular de la recta.
Volvamos a esto ejemplos de funciones lineales f: f(x) = 2x+5 , g: g(x) = -3x+7, h: h(x) = 4
f: f(x) = 2x+5 si x es 3, entonces f(3) = 2.3+5 = 11
si x es 4, entonces f(4) = 2.4+5 = 13
si x es 5, entonces f(5) = 2.5+5 = 15
Cada vez que la x se incrementa en 1 unidad, el resultado, esto es, f(x), se incrementa en 2 unidades.
Preste atención en que los valores de x y de f(x) NO SON PROPORCIONALES.
Lo que son proporcionales son los incrementos.
g: g(x) = -3x+7 si x= 0, entonces g(0) = -3.(0) +7 = 0+7 = 7
si x= 1, entonces g(1) = -3.(1) +7 = -3+7 = 4
si x= 2, entonces g(2) = -3.(2) +7 = -6+7 = 1
Cada vez que la x se incrementa en 1 unidad, el resultado, esto es, g(x), disminuye en 3 unidades.
h: h(x) = 4 si x= 0 , entonces h(0) = 4
si x= 98 , entonces h(98) = 4
Cada vez que la x se incrementa en 1 unidad, el resultado, esto es, h(x), NO aumenta. Es la función constante. Su gráfica es una recta paralela al eje OX.
¿Que diferencia fundamental y muy importante hay entre las funciones h y j?
Parecería, a primera vista, que son muy parecidas. Las "fórmulas" de ambas son iguales. h(x)=3 y j(x)=3
Sin embargo, son muy distintas porque mientras la función h tiene como dominio todos los números reales, la función j tiene como dominio los números naturales. Y como entre dos números naturales consecutivos no hay ningún otro número natural, no existe gráfica ni puntos entre ellos.
Esto es, entre el 17 y el 18 no hay ningún número natural. Entre el 17 y el 18 hay infinitos número reales. He ahí la diferencia.
La representación gráfica de h es una linea recta, pero la de j son puntos aislados, aunque son infinitos.
Esto, por supuesto, ocurre no solo si son funciones constantes. Es para cualquier función. El dominio es muy importante.
Cuando no se especifíca el dominio y codominio, se supone que son los mayores posibles. En el caso de las funciones lineales, es de R en R.
Veamos otro ejemplo:
Esta función, llamada q, ¿ será lineal ? Supongamos, además, que es una función de R en R.
Para determinar esto tenemos que ver si las diferencias entre los valores en el dominio y codominio son proporcionales. Esto es, si cambian en la misma razón.
Dominio
x
Codominio
y
Dominio: de 7 a 13 aumenta en 6 Codominio: de 2 a 4 aumenta en 2. Por ahora, parece que si
Dominio: de 13 a 16 aumenta en 3 Codominio: de 4 a 9 aumenta en 5 Se rompió la relación
Cada 3 unidades de aumento en x, aumentaría en 1 en el codominio, pero el "9" no esta de acuerdo con esto. ¿Que número tendría que estar, en lugar del "9", para que sea una función lineal ?
Primero lo piensas y luego toca el botón "lineal".
RESUMEN: Las funciones lineales son funciones de dominio real y codominio real, cuya expresion analítica es f: R —> R / f(x) = a.x+b con a y b números reales.
La representación gráfica de dichas funciones es una recta, en un sistema de ejes perpendiculares. La inclinación de dicha recta esta dada por la pendiente a y la ordenada en el origen es b.
¿como puedo hayar el punto de corte de la recta con el eje x?
¿como puedo hayar el punto de corte de la recta con el eje x con gráficas?
Un ejercicio resuelto: costo, ingreso, ventas, beneficio.
Fuente: http://www.fce.unam.edu.ar/PMA/Modulo1/FunEType in the content of your page here.